Hoşgeldiniz, sadece sorulara bakmayın, üye olun, biz soralım siz çözün, hatta siz de sorun biz de çözelim!

Hangi sayıdır?

+3 oy
261 gösterim
22 Mayıs 2017 Ory Gngr Toy (280 puan) sordu
5 Haziran 2017 Ory Gngr yeniden gösterildi

Aşağıda sırasıyla $10$ adet önerme verilmiştir. Bunların bir kısmı doğru bir kısmı ise yanlıştır. Buna göre önermelerde bahsedilen sayı kaçtır?

  1. Yedinci ve sekizinci önermelerin en az bir tanesi doğrudur.
  2. Bu ya ilk yanlış önermedir ya da ilk doğru önermedir.
  3. Sayı bir asal sayıdır.
  4. Sayı, ilk doğru önerme numarası ile son yanlış önerme numarasının çarpımıyla bölünebilir.
  5. Sayının bölenlerinin sayısı, doğru önerme numaralarının toplamından büyüktür.
  6. Sayının birbirinden farklı tam $4$ asal böleni vardır.
  7. Sayı $1000$'den daha büyüktür.
  8. Doğru önerme sayısı, yanlış önerme sayısına eşit değildir.
  9. Sayının bölenlerinden birtanesi $1$'den büyük bir sayının küpüdür.
  10. Önermelerde, $3$ tane üst üste yanlış ve $3$ tane üst üste doğru önerme vardır.

1 cevap

+1 oy
27 Mayıs 2018 anpedur Toy (273 puan) cevapladı
7 Haziran 2018 helloworld seçti
 
En İyi Cevap

İkinci önermeden başlayacak olursak, önermenin yanlış olduğunda da doğru olduğunda da 1.önermenin kesin yanlış olduğu sonucuna varılıyor. 1.önermenin yanlış olması, bizi 7 ve 8 no.lu önermelerin her ikisinin de yanlış olduğu sonucuna götürüyor. 7 ve 8 önermelerinin yanlış olması bu sayının 1000 den küçük olduğunu ve doğru-yanlış önerme sayılarının eşit olduğunu (5-5) gösteriyor. Bu durumda, 3.önerme doğru olsa idi arkasından gelen 4,5 ve 6 no.lu önermeler yanlış olacağından doğru-yanlış önerme eşitliği sağlanamayacaktı. O halde 3.önerme yanlıştır. Aşağıdaki tabloda 2.önermenin doğru olduğu 2 durum ve yanlış olduğu durumda önermelerin durumları gösterilmektedir. İnceleyecek olursak,

1. Y Y Y
2. D D Y
3. Y Y Y
4. D D D
5. D D D
6. D D D
7. Y Y Y
8. Y Y Y
9. D Y D
10. Y D D
  • 2.önermenin yanlış olduğu durumda 1,2,3,7,8 yanlış ve 4,5,6,9,10 doğru önerme oluyor. 4.önerme bize 32 sayısını veriyor (ilk doğru önerme 4 x son yanlış önerme 8). 6.önermenin alabileceği en küçük asal bölenleri 2,3,5,7 olarak aldığımızda, 32 sayısının bölen olabilemesi için, 5x7x32 nin 1000 den küçük olması gerekiyor ve bu koşul sağlanmadığından, 2.önermenin yanlış olduğu olasılık ortadan kalkıyor.
  • 2.önerme doğru olduğunda, elimizde 1,3,7,8 yanlış ve 2. önerme  doğru oluyor. 5. yanlış olan önermeyi bulmak için 10.önermeye bakıyoruz. 10.önermenin doğru olduğunda; 4,5,6 önemeleri doğru, 9.önerme yanlış sonucuna varıyoruz. Bu durumda, 4.önermeden bize 18 sayısı geliyor (ilk doğru önerme 2 x son yanlış önerme 9). Önceki durumdaki gibi en küçük 4 asalları 2,3,5,7 olarak seçtiğimizde 5x7x18 = 630 sayısına ulaşıyoruz. Şimdi bu sayı ile 5.önermeyi doğrulamamız gerekiyor. 5.önermeden bize bölenlerin sayısının 27 den büyük olması gerektiği ortaya çıkıyor (Doğru önerme no.toplamı: 2+4+5+6+10). 630 un bölenlerine baktığımızda 22 sayısına ulaşıyoruz (2,3,5,6,7,9,10,14,15,18,21,30,35,42,45,63,70,90,105,126,210,305). Böylece 5.önerme doğrulanamadığından bu olasılık da istediğimiz sonucu vermiyor.
  • 2.önermenin doğru olduğu ikinci olasılıkta 10.önermenin yanlış olması durumunda; 1,3,7,8,10 yanlış, 2,4,5,6,9 doğru öneme oluyor. Bu durumda, 4.önermeden bize 20 sayısı geliyor (ilk doğru önerme 2 x son yanlış önerme 10). Önceki durumdaki gibi en küçük 4 asalları 2,3,5,7 olarak seçtiğimizde 3x7x20 = 420 sayısına ulaşıyoruz. 9.önermenin doğru olması için sayının 1000 den küçük olması gerektiğini de dikkate alarak 2 sayısının küpü olan 8 sayısını bölen olarak kullanabilememiz için 420 x 2 = 840 sayısına ulaşıyoruz. Şimdi bu sayı ile 5.önermeyi doğrulamamız gerekiyor. 5.önermeden bize bölenlerin sayısının 26 dan büyük olması gerektiği ortaya çıkıyor (Doğru önerme no.toplamı: 2+4+5+6+9). 840 ın bölenlerine baktığımızda 30 sayısına ulaşıyoruz.(2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15,20,21,24,28,30,35,40,42,56,60,70,84,105,120,140,168,210,280,420). 30>26 olduğundan 5.önerme de doğrulanmış oluyor.

Böylece cevap 840 olarak bulunur.

 

Sol beyine hoşgeldiniz! Burada daha önce benzerine rastlamadığınız sorularla karşılaşabilirsiniz...
...